有限元的未來是多物理場

一、數(shù)值計(jì)算概述

現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)問題通常有三種研究方法：理論推導(dǎo)、科學(xué)實(shí)驗(yàn)和科學(xué)計(jì)算?？茖W(xué)技術(shù)可以幫助科學(xué)家揭示用物質(zhì)實(shí)驗(yàn)手段尚不能表現(xiàn)的科學(xué)奧秘和科學(xué)規(guī)律，同時，它也是工程科學(xué)家的研究成果——理論、方法和科學(xué)數(shù)據(jù)的歸總，成為推動工程和社會進(jìn)步的最新生產(chǎn)力。數(shù)值計(jì)算方法則是科學(xué)計(jì)算核心。

數(shù)值計(jì)算技術(shù)誕生于上個世紀(jì)五十年代初，Bruce, G. H.和 Peaceman, D. W.模擬了一維氣相不穩(wěn)定徑向和線形流。受當(dāng)時計(jì)算機(jī)能力及解法限制，數(shù)值計(jì)算技術(shù)只是初步應(yīng)用于求解一維問題。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和計(jì)算方法的發(fā)展，復(fù)雜的工程問題也可以采用離散化的數(shù)值計(jì)算方法，并借助計(jì)算機(jī)得到滿足工程要求的數(shù)值解。

數(shù)值計(jì)算可理解為用計(jì)算機(jī)來做實(shí)驗(yàn)，比如某一特定LED（發(fā)光二極管）工作過程中內(nèi)部電流密度、溫度及熱應(yīng)力問題，通過計(jì)算并顯示其計(jì)算結(jié)果。我們可以看到LED內(nèi)部電流密度是否存在擁擠現(xiàn)象，內(nèi)部溫度分布的各個細(xì)節(jié)，以及由于溫度的變化引起的應(yīng)力集中是否存在，它的位置、大小及其隨時間的變化等。

我們可以將數(shù)值計(jì)算分為以下幾個步驟：

首先要建立反映問題本質(zhì)的數(shù)學(xué)模型。具體說就是要建立反映問題中各物理量之間的偏微分方程及其相應(yīng)的定解條件，這是數(shù)值計(jì)算的出發(fā)點(diǎn)。比如牛頓型流體流動的數(shù)學(xué)模型，就是著名的納維—斯托克斯方程及其相應(yīng)的定解條件。

數(shù)學(xué)模型建立之后，接下來就是求解這個模型。需要尋求高效、高準(zhǔn)確度的計(jì)算方法。求解科學(xué)問題就是求解偏微分方程。

在確定了計(jì)算方法后，就可以開始編制程序并進(jìn)行計(jì)算。實(shí)踐表明這一部分工作是整個工作的主體，會占據(jù)整個工程的絕大部分時間。隨著軟件技術(shù)的發(fā)展，出現(xiàn)了應(yīng)用于各領(lǐng)域的商業(yè)軟件，運(yùn)用這些軟件使得這部分工作得到大大簡化，縮短了模擬過程的周期。這樣，科研人員能夠?qū)⒆约旱臅r間和精力更多的投入到自己研究的問題上，而不是編寫計(jì)算代碼。

通過上述描述，用數(shù)值計(jì)算方法解決科學(xué)計(jì)算問題的一般過程可以用如下流程來形象地描述：

實(shí)際問題→ 數(shù)學(xué)模型→ 計(jì)算方法→ 計(jì)算程序→ 計(jì)算機(jī)計(jì)算→ 結(jié)果分析

在計(jì)算工作完成后，需要處理大量的計(jì)算結(jié)果數(shù)據(jù)。計(jì)算結(jié)果的圖形后處理也是一項(xiàng)十分重要的工作，現(xiàn)在很多模擬工具已經(jīng)能將圖形編輯成連貫動畫進(jìn)行播放。

數(shù)值計(jì)算具有很多優(yōu)點(diǎn)，但是它也有自己的局限性：

數(shù)值計(jì)算的結(jié)果是離散的，并且一定有誤差，這是數(shù)值計(jì)算方法區(qū)別于解析法的主要特征。因此，如何控制數(shù)值誤差，提高計(jì)算的精確度成為一款數(shù)值計(jì)算軟件追求的首要目標(biāo)。

數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性?？刂普`差的增長勢頭，保證計(jì)算過程穩(wěn)定是數(shù)值計(jì)算方法的核心任務(wù)之一。特別是非線性問題的計(jì)算，往往出現(xiàn)計(jì)算結(jié)果不收斂，甚至得不到計(jì)算結(jié)果。

計(jì)算規(guī)模依賴于計(jì)算機(jī)硬件的發(fā)展。以氣象研究為例，模擬1平方公里、1公里高度的一個區(qū)域，長寬高各自離散1000個網(wǎng)格，而耦合計(jì)算的基礎(chǔ)方程為5個，計(jì)算規(guī)模將達(dá)到1000G的自由度?，F(xiàn)在，全世界最快的千萬億次的超級計(jì)算機(jī)計(jì)算能力也僅僅達(dá)到1000G自由度。

多物理場耦合分析的局限性。人們針對各個科學(xué)和工程領(lǐng)域發(fā)展出各自的計(jì)算方法，并且開發(fā)出來相當(dāng)多優(yōu)秀的數(shù)值計(jì)算軟件。但是，不同的算法、不同的軟件平臺下，多個物理場之間數(shù)據(jù)的傳輸將會遇到非常多的問題：數(shù)據(jù)存儲格式的差異帶來數(shù)據(jù)傳輸?shù)膩G失；不同軟件之間的算法不統(tǒng)一導(dǎo)致無法實(shí)現(xiàn)多個物理場實(shí)時的耦合；以及編寫接口軟件帶來的額外工作開銷等問題，都將極大的限制了多物理場耦合分析的應(yīng)用范圍。

二、幾種常見數(shù)值計(jì)算方法

FDM

有限差分方法 (FDM) 是計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬最早采用的方法，它將求解域劃分為差分網(wǎng)格，用有限個網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)代替連續(xù)的求解域。有限差分法以Taylor級數(shù)展開等方法，把控制方程中的導(dǎo)數(shù)用網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值的差商代替進(jìn)行離散，從而建立以網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的值為未知數(shù)的代數(shù)方程組。該方法是一種直接將微分問題變?yōu)榇鷶?shù)問題的近似數(shù)值解法，數(shù)學(xué)概念直觀，表達(dá)簡單，是發(fā)展較早且比較成熟的數(shù)值方法。

差分方法主要適用于有結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，網(wǎng)格的步長必須根據(jù)實(shí)際的情況和穩(wěn)定條件來決定。這限制了有限差分方法的應(yīng)用范圍，有限差分方法通常在電磁場分析中應(yīng)用較多。

FEM

有限元方法 (FEM) 的基礎(chǔ)是變分原理和加權(quán)余量法，其基本求解思想是把計(jì)算域劃分為有限個互不重疊的單元，在每個單元內(nèi)，選擇一些合適的節(jié)點(diǎn)作為求解函數(shù)的插值點(diǎn)，將偏微分方程中的變量改寫成，由各變量或其導(dǎo)數(shù)的節(jié)點(diǎn)值與所選用的插值函數(shù)組成的線性表達(dá)式，借助于變分原理或加權(quán)余量法，將微分方程離散求解。采用不同的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù)形式，便構(gòu)成不同的有限元方法。

有限元方法適用性強(qiáng)，它最早應(yīng)用于結(jié)構(gòu)力學(xué)，后來隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展以及各個學(xué)科理論研究的深入，慢慢用于流體力學(xué)、電動力學(xué)、土力學(xué)、熱力學(xué)等等領(lǐng)域。

FVM

有限體積法 (FVM) 又稱為控制體積法，它將計(jì)算區(qū)域劃分為一系列不重復(fù)的控制體積，并使每個網(wǎng)格點(diǎn)周圍有一個控制體積；將待解的偏微分方程對每一個控制體積積分，便得出一組離散方程。為了求出控制體積的積分，必須假定值在網(wǎng)格點(diǎn)之間的變化規(guī)律（既插值函數(shù)）。這限制有限體積法的應(yīng)用范圍，有限體積法通常在流體分析中應(yīng)用較多。

幾種方法比較分析

有限差分方法相對比較直觀，但是難以處理不規(guī)則區(qū)域，對區(qū)域的連續(xù)性等要求比較苛刻。使用有限差分方法的好處在于易于編程，易于并行計(jì)算。

有限元方法對偏微分方程的離散較容易，適合處理復(fù)雜區(qū)域，并且計(jì)算精度可靠。對于能使用偏微分方程描述的物理問題，都能使用有限元方法進(jìn)行模擬。

有限體積法適于流體計(jì)算，可以應(yīng)用于不規(guī)則網(wǎng)格，但由于有限體積法的截取誤差是不定的，它的精度基本上只能是二階。

因此，在實(shí)用性、適用性以及擴(kuò)展性方面，有限元方法具有更大的優(yōu)勢，也是現(xiàn)在應(yīng)用最為廣泛的一種數(shù)值計(jì)算方法。因此，有限元法在多物理場方面的應(yīng)用有得天獨(dú)厚的優(yōu)勢，現(xiàn)在出現(xiàn)的優(yōu)秀的實(shí)用型多物理場耦合分析軟件大部分是基于有限元法實(shí)現(xiàn)的。

三、有限元的未來是多物理場耦合分析

早期的有限元主要關(guān)注于某個專業(yè)領(lǐng)域，比如應(yīng)力或疲勞，這與當(dāng)時計(jì)算機(jī)的計(jì)算能力相對應(yīng)。但是，一般來說，物理現(xiàn)象都不是單獨(dú)存在的。例如，只要運(yùn)動就會產(chǎn)生熱，而熱反過來又影響一些材料屬性，如電導(dǎo)率、化學(xué)反應(yīng)速率、流體的粘性等等。這種物理系統(tǒng)的耦合就是我們所說的多物理場，分析起來比我們單獨(dú)去分析一個物理場要復(fù)雜得多。常見的耦合問題有流-固耦合、電-熱耦合、熱-結(jié)構(gòu)耦合、熱-電-結(jié)構(gòu)耦合、聲-結(jié)構(gòu)耦合、流體-反應(yīng)耦合、流體-熱耦合等。使用基于單元庫的模擬軟件，對上述各種耦合問題進(jìn)行模擬，必須推導(dǎo)出相對應(yīng)的耦合方程，其難度將是巨大的。

物理系統(tǒng)中每增加一個耦合的物理場，意味著數(shù)值計(jì)算的時候增加一個或多個未知的物理變量，同樣的離散條件下，計(jì)算的自由度數(shù)將會擴(kuò)大。在上個世紀(jì)90年代以前，由于計(jì)算機(jī)資源的缺乏，多物理場模擬僅僅停留在理論階段，有限元建模也局限于對單個物理場的模擬，最常見的也就是對力學(xué)、傳熱、流體以及電磁場的模擬。看起來有限元仿真的命運(yùn)好像也就是對單個物理場的模擬。

現(xiàn)在這種情況已經(jīng)開始改變。經(jīng)過數(shù)十年的努力，計(jì)算科學(xué)的發(fā)展為我們提供了更靈巧、更簡潔而又更快速的算法，強(qiáng)勁的硬件配置，使得對多物理場的有限元模擬成為可能。新興的有限元方法為多物理場分析提供了一個新的機(jī)遇，滿足了工程師對真實(shí)物理系統(tǒng)的求解需要。

以流-固耦合來說，它是流體力學(xué)與固體力學(xué)兩者之間相互作用產(chǎn)生的，其研究對象是固體在流場作用下的各種行為，以及固體變形或運(yùn)動對流場的影響。流-固耦合的重要特征是兩相介質(zhì)之間的相互作用：固體在流體動載荷的作用下產(chǎn)生變形或運(yùn)動，而固體的變形或運(yùn)動反過來又會影響到流場，從而改變流場的分布。

壓電擴(kuò)音器 (Piezoacoustic transducer) 可以將電流轉(zhuǎn)換為聲學(xué)壓力場，或者反過來將聲場轉(zhuǎn)換為電場，這里涉及三個不同的物理場：結(jié)構(gòu)場、電場和流體中的聲場。這種裝置一般用在空氣或者液體中的聲源裝置上，比如相控陣麥克風(fēng)、超聲生物成像儀、聲納傳感器和聲學(xué)生物治療儀等，也可用于一些機(jī)械裝置，比如噴墨機(jī)和壓電馬達(dá)等。

科學(xué)家已經(jīng)證明采用偏微分方程組 (PDEs) 的方法可以求解多物理場現(xiàn)象。這些偏微分方程可以描述熱量傳遞、電磁場和結(jié)構(gòu)力學(xué)等各種物理過程?？梢赃@樣認(rèn)定，多物理場的本質(zhì)是偏微分方程組。隨著計(jì)算機(jī)和計(jì)算技術(shù)的迅速發(fā)展，使得工程師可以輕松地用偏微分方程組描述現(xiàn)實(shí)中的多物理場問題。如果有一種算法或者軟件能直接對這些偏微分方程組進(jìn)行求解，對科學(xué)研究與工程計(jì)算進(jìn)程的推進(jìn)將是巨大的。

而多物理場問題的求解，其難度也是巨大的。在實(shí)際求解多物理場耦合問題時，需要考慮不同的耦合關(guān)系。根據(jù)耦合的相互作用關(guān)系，可以把耦合關(guān)系分為雙向耦合和單向耦合。物理場A通過邊界條件或源項(xiàng)對物理場B產(chǎn)生作用，而物理場B對A不產(chǎn)生作用，或其影響可被忽略，稱這種耦合是單向耦合。比如在熱應(yīng)力問題中，溫度場會產(chǎn)生明顯的熱應(yīng)力，但是由于變形而導(dǎo)致的溫度場的性質(zhì)變化并不顯著，這種問題可以簡化為單向耦合問題。

如果物理場B也對A產(chǎn)生影響，則稱這種耦合為雙向耦合。比如電阻應(yīng)變片上當(dāng)電流改變時會產(chǎn)生熱量，熱量導(dǎo)致電阻率的改變，從而影響了電流的改變。

實(shí)際上，只要一個場對另外一個場發(fā)生作用，反作用也是必然要出現(xiàn)的。所以，使用間接耦合的方式求解多物理場問題，其出發(fā)點(diǎn)即存在誤差。

綜上所述，多物理場的計(jì)算，需要強(qiáng)大的計(jì)算機(jī)計(jì)算能力為后盾。計(jì)算機(jī)計(jì)算能力的提升使得有限元分析由單場分析到多場分析變成現(xiàn)實(shí)，未來的幾年內(nèi)，多物理場分析工具將會給學(xué)術(shù)界和工程界帶來震驚。單調(diào)的“設(shè)計(jì)－校驗(yàn)”的設(shè)計(jì)方法將會慢慢被淘汰，虛擬造型技術(shù)將讓科學(xué)家們的思想走得更遠(yuǎn)。

四、多物理場技術(shù)的應(yīng)用及探討

綜上所述，利用基于單元庫的方法實(shí)現(xiàn)多物理場耦合計(jì)算，每增加一種耦合分析類型，必須推導(dǎo)出該耦合方程，其代價(jià)將是巨大的。隨著科學(xué)計(jì)算不斷發(fā)展，人們研究領(lǐng)域的不斷細(xì)化和深入，以及計(jì)算機(jī)計(jì)算能力的不斷提高，未來多物理場計(jì)算的發(fā)展趨勢可以歸結(jié)為以下幾點(diǎn)：

計(jì)算的功能得到更大的擴(kuò)充。在同一個計(jì)算平臺下實(shí)現(xiàn)多個科學(xué)領(lǐng)域的計(jì)算，結(jié)構(gòu)力學(xué)、流體力學(xué)、電動力學(xué)、熱力學(xué)、量子力學(xué)等等問題，將會在一個統(tǒng)一的仿真分析平臺下完成。

多尺度耦合分析。現(xiàn)代科學(xué)問題通常是一個完整的系統(tǒng)工程，研究的尺度范圍常常涉及到從米到微米甚至納米級別。例如，對于飛機(jī)機(jī)翼的研究，機(jī)翼結(jié)構(gòu)強(qiáng)度分析屬于米量級的分析，而構(gòu)成機(jī)翼的復(fù)合材料分子動力學(xué)模型則延伸到納米量級。

結(jié)構(gòu)、構(gòu)件及其材料的一體化設(shè)計(jì)計(jì)算與模擬仿真。系統(tǒng)級的數(shù)值模擬將會越來越多，材料庫的出現(xiàn)將會加速此進(jìn)程。

實(shí)現(xiàn)真正的多物理場耦合計(jì)算。在同一個計(jì)算平臺下，實(shí)現(xiàn)真正的、實(shí)時的多物理場耦合分析，區(qū)別于不同計(jì)算算法、不同軟件數(shù)據(jù)互換造成極大的計(jì)算資源浪費(fèi)。多物理場問題將不受算法或軟件的限制，對任意的物理場進(jìn)行組合從而計(jì)算任意的多物理場問題。比如，在電阻應(yīng)變片上當(dāng)電流改變時會產(chǎn)生熱量，熱量導(dǎo)致電阻率的改變，從而影響了電流的改變。此時，研究人員需要考慮熱量改變而引起的應(yīng)變問題，則在原有多物理場系統(tǒng)的基礎(chǔ)上加入結(jié)構(gòu)力學(xué)的因素。

基于網(wǎng)絡(luò)的分布式并行、大規(guī)模計(jì)算，以及CAD/CAE的集成化、網(wǎng)絡(luò)化、智能化。

來源：蒙茂洲科學(xué)網(wǎng)博客