網(wǎng)格畫得越細，有限元分析結果就越精確？
有限元分析是一種廣泛應用的數(shù)值方法，用于求解各種工程和科學問題中的微分方程。在有限元分析中，網(wǎng)格的劃分是一個關鍵步驟，因為它直接影響到計算結果的精度和計算效率。那么，是否網(wǎng)格畫得越細，分析結果就越精確呢？
我們要明確一點，網(wǎng)格的細化確實可以在一定程度上提高分析的精度。當網(wǎng)格足夠細時，它能夠更好地捕捉到問題域中的細節(jié)和變化，從而得到更準確的解。這是因為在有限元分析中，我們實際上是將連續(xù)的問題域離散化，用一系列的單元來近似表示。如果網(wǎng)格太粗，那么這些單元可能無法準確地描述問題域中的復雜變化，從而導致計算結果的誤差。
然而，網(wǎng)格的細化并不是無限制的。當網(wǎng)格細化到一定程度后，繼續(xù)增加網(wǎng)格數(shù)量可能不會顯著提高分析的精度，甚至可能導致計算效率的降低。這是因為有限元分析中的誤差來源不僅僅是網(wǎng)格的離散化，還包括其他因素，如舍入誤差、迭代誤差等。此外，當網(wǎng)格數(shù)量過多時，計算量會顯著增加，導致計算時間變長，甚至可能超出計算機的內存限制。
很多時候，提高單元數(shù)量對于計算精度的提高，遠遠比不過選用更好更合理的單元類型。對于不同的求算對象，所需要的單元數(shù)量也不相同。一般來說，求算應力需要比求算位移更多的單元，而求算剪應力需要比正應力更多的單元。
舉一個常見小例子，平面應力問題，計算一根懸臂梁的變形和應力：
懸臂梁的寬度為1，彈性模量30000，泊松比0.3，自由端承受豎向荷載100。求解A點的豎向位移、B點的正應力、C點的剪應力。
分別選用不同類型的四種單元計算，包括三節(jié)點三角形 CSTG、六節(jié)點三角形 LST、四節(jié)點四邊形 IPLQ、八節(jié)點四邊形 IPQQ。
首先計算位移和應力的理論解：
A 點的豎向位移為0.895，B 點的正應力為90，C 點的剪應力為7.5。
然后分別用不同數(shù)量的四種單元進行比較計算，所用軟件為 GT STRUDL，單元名稱按照 GT STRUDL 的命名，計算結果是這樣的：
隨著單元數(shù)量的增多，位移、正應力和剪應力結果都趨近于理論解。
對于不同的單元類型，趨近理論解的速度完全不同。同樣是32個單元，CSTG 的位移結果是0.5072，正應力是33.11，與真實解 0.895 和 90 相差甚遠。而32個單元的 LST 結果為0.8978和88.68，已經(jīng)很接近于理論解 0.895 和 90。
同樣是64個單元，IPLQ 的結果為 0.8715 、89.52，而 IPQQ 的結果則達到了 0.8999、90.01，可以說正應力結果已經(jīng)非常非常接近理論解。
如果比較一下四邊形單元的結果和三角形單元的結果，差異更加明顯。對于位移結果來說，2000個CSTG單元的精度也比不上4個IPQQ單元的精度。
如果橫坐標為單元數(shù)量，縱坐標為計算結果，繪制一張收斂圖像的話，對于位移來說是這樣的：
對于這四種單元類型，要想達到類似的可以接受的精度水平，需要的單元數(shù)量完全不同。
根據(jù)上面的分析，想要得到精度可以接受的計算結果，CSTG需要2000多個單元，而IPQQ僅需要64個。
那么結論就是，提高單元數(shù)量的確會提高計算精度，但前提是單元類型合理高效。對于提高精度來說，更合理的方法是選用更好的單元，而不是盲目的提高單元數(shù)量。
除了網(wǎng)格的劃分外，還有其他一些因素也會影響有限元分析的精度。例如，所選用的有限元模型、邊界條件的處理方式、材料參數(shù)的準確性等都會對計算結果產(chǎn)生影響。因此，在進行有限元分析時，需要綜合考慮這些因素，以確保得到準確可靠的結果。
所以在選擇有限元分析公司的時候，也需要注意甄別，找有經(jīng)驗、有技術背景的公司，才能在有限元分析結果上更精準，以避免時間的浪費及其他問題的發(fā)生。
