簡說：非線性及其有限元分析
世界是非線性的。但是，人類對它的認識卻是從簡單的線性開始的。
早在公元前500年左右，古希臘的畢達哥拉斯學派就發(fā)現(xiàn)了自然數(shù)是按照均勻的線性關系增加的。
到了18世紀，法國大數(shù)學家拉普拉斯首先認識到，自然界也許不是一個簡單的線性世界。他曾說，如果世界是線性的，則一旦初始條件確定，則世界就按簡單、均勻的規(guī)則發(fā)展，那么，這個世界也未免太簡單、太單調了。
到了19世紀，隨著力學的發(fā)展，數(shù)學家們首次發(fā)現(xiàn)了非線性的微分方程，這類方程與通常的線性的微分方程相比，方程中多了一個或幾個非線性的項，正是非線性項的存在，使方程由簡單的線性變成了復雜的非線性。當時，這類方程較多地出現(xiàn)在空氣動力學方程與流體力學方程之中。而法國數(shù)學家龐加萊則是最早研究此類方程的人，由此，他得出結論：自然界從廣義上講是由非線性構成的，線性只是一個特例。
公認的對現(xiàn)代非線性理論做出杰出貢獻的是荷蘭的一位氣象學家，叫洛倫茲，正是他開啟了人類認識非線性世界的大門。在非線性世界中，結果對初始條件有著很大的依賴性，只要初始條件有一點微小的變化，隨著時間的推移，結果會越來越發(fā)生質的變化，洛倫茲將非線性世界的這一特征稱為“混沌效應”。
因此，線性只是我們對復雜物理現(xiàn)象的簡化，非線性才是客觀世界的常態(tài)。
將非線性狀態(tài)抽象分類出來主要是三類:
? 材料非線性
? 幾何非線性
? 邊界非線性
材料非線性
材料非線性是指材料屬性會隨某些變量變化時，顯示出非線性特征。所有的工程材料本質上都是非線性的，因為無法找到單一的本構關系滿足不同的條件，比如加載、溫度和應變率。
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材料非線性的簡單分類：
1、非線性彈性
2、超彈性
3、理想彈-塑性
4、彈性-時間無關塑性
5、時間相關塑性（蠕變）
6、應變率相關彈-塑性
7、溫度相關的彈性和塑性
幾何非線性
幾何非線性可能與以下幾種情況有關：a、大應變；b、大轉角；c、大變形
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這個并不是由于材料特性發(fā)生了變化，而是由于幾何形狀變化，造成剛度矩陣需要跟隨幾何形狀變化，從而影響最終結果。當形變非常大，造成應變非常高的時候，也有可能同時存在材料高度非線性。
邊界非線性
最典型的邊界非線性就是力學分析中的接觸。包括摩擦，碰撞等等。如兩個或更多個部件彼此接觸或相互干擾，則組件的這種剛度也會變化并改變。
在實際工程中，產(chǎn)品結構設計常常會被優(yōu)化，讓荷載接近材料強度，以充分利用材料性能，在這種情況下，為了準確地預測結構強度，有必要進行非線性有限元分析。下表簡要列出了線性和非線性有限元分析之間的主要不同。
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序號 |
特征 |
線性問題 |
非線性問題 |
| 1 |
載荷-位移關系 |
位移與荷載程線性關系，剛度是常數(shù)。位移引起的幾何變形認為是小變形并且可忽略。初始狀態(tài)或微變形的狀態(tài)作為參考狀態(tài)。 |
非線性問題的剛度是隨載荷變化的函數(shù)。唯一可以很大并且?guī)缀巫冃尾豢珊雎浴Ｒ虼藙偠仁呛奢d的函數(shù)。 |
| 2 |
應力-應變關系 |
在比例極限/彈性極限之前是線性的，楊氏模量等屬性可以很容易得到。 |
是關于應力-應變或時間的非線性函數(shù)，獲取這個關系比較困難，需要大量的材料試驗。注意真實應力和工程應力之前的差別。 |
| 3 |
比例縮放 |
可以，如果1N的力引起了x個單位位移，那么10N的力將產(chǎn)生10x的位移。 |
不可以 |
| 4 |
線性疊加 |
可以?？梢赃M行工況的線性組合 |
不可以 |
| 5 |
可逆性 |
在卸掉外荷載后結構的行為是完全可逆的。這也意味著荷載的順序并不重要并且最終狀態(tài)不會受到加載歷史的影響。 |
卸載后的狀態(tài)與初始狀態(tài)不同。因此不能進行工況疊加。加載歷史非常重要 |
| 6 |
求解序列 |
荷載一次性加載，沒有迭代步 |
荷載被分解到多個小的增量步進行迭代加載以保證每個荷載增量步都滿足平衡條件 |
| 7 |
計算時間 |
短 |
長 |
| 8 |
用戶與軟件的交互 |
要求很少 |
需要經(jīng)常查看軟件狀態(tài)，因此可能無法收斂。 |
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