【技術分享】有限元法數(shù)學原理的簡單實例

 在數(shù)學層面說明有限元法的數(shù)學原理并不是一件容易的事情，因為當涉及到二維或者三維維度時，一個簡單的問題都需要結合很多原理和公式來演算。為了讓大家對有限元法的數(shù)學原理有個簡單的認識和了解，今天有限元科技小編給大家介紹一個通俗易懂的例子來說明有限元法的(FEM)的數(shù)學思想，希望對大家有所啟發(fā)。

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 如下圖所示，一個圓截面桿件一端固定，另一端施加拉力P，計算桿件的變形以及受到的應力。

 模型是一個簡單的桿件，可以簡化為1D單元，1D單元有不同類型，本例設定為桁架單元(trusselement)，只能承受軸向力。如下圖所示，為了方便計算，我們把桿件劃分為2個單元和3個節(jié)點（節(jié)點a，b，c）。

 其中每個節(jié)點都受到相應的外力（由外部載荷P引起）和內力l（由內部應力引起）。當模型處于靜力學平衡時(staticequilibrium)，節(jié)點力（作用于節(jié)點的內力和外力的合力）必須等于0，每個節(jié)點的受力平衡如下圖所示：

 假設桿件變形過程中伸長量很小，對于單元1(element1)的應變有：

 其中和分別為節(jié)點a和b的位移(displacement)，L為單元1(element1)的長度。假設材料為彈性材料，楊氏模量為E(Young‘sModulus)，則由材料力學可得單元1的應力：

 作用于節(jié)點a的軸向力等于應力乘以橫截面積（cross-sectionalarea），所以可以得到內力、材料屬性以及位移的關系如下式：

 由力學平衡可得：

 即：

 同樣的方法，運用力學平衡和材料力學公式可以得到節(jié)點b的平衡式如下：

 節(jié)點c的平衡式如下：

 將節(jié)點a，b，c的平衡式寫成矩陣形式，得：

 這樣，我們就得到了桿件的平衡方程，由于節(jié)點a固定，所以位移定于0，又聯(lián)立Pb=Pc=P，這樣我們就可以得到節(jié)點b和節(jié)點c的位移以及Pa，算出位移之后，我們就可以返回去算出應力值。

 其中EA/L就是我們常說的剛度，當然在很多時候，每個單元的剛度并不一樣，如本例，如果兩個單元的長度不一樣，則剛度也不一樣。當剛度不一樣時，設單元1和單元2的剛度分別為K1和K2，此時平衡方程有：

 上面這個例子簡單的說明了有限元法的數(shù)學原理，有限元法的核心思想就是離散化分割為有限個單元，將無窮轉化為有限。實際問題的計算并沒有這么簡單，但思想是類似的，對力學問題來說，總可以列出形如下所示的外力和內力平衡的方程：

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