有限元仿真分析方法與力學(xué)的研究及未來(lái)的一些可能方向

 有限元方法（FEA）即有限單元法，它是一種數(shù)值分析(計(jì)算數(shù)學(xué))工具，但不是唯一的數(shù)值分析工具。在工程領(lǐng)域還有其它的數(shù)值方法，如：有限差分法、邊界元方法、有限體積法。但由于FEA具有多功能性和高數(shù)值性能，使它占據(jù)了絕大多數(shù)的工程分析市場(chǎng)，其它的因此而被歸入小規(guī)模應(yīng)用。

 有限單元法已成為一種強(qiáng)有力的數(shù)值解法來(lái)解決工程中遇到的大量問(wèn)題，其應(yīng)用范圍從固體到流體，從靜力到動(dòng)力，從力學(xué)問(wèn)題到非力學(xué)問(wèn)題。事實(shí)上，有限單元法已經(jīng)成為在已知邊界條件和初始條件下求解偏微分方程組的一般數(shù)值方法。

有限單元法在工程上的應(yīng)用屬于計(jì)算力學(xué)的范疇，而計(jì)算力學(xué)是根據(jù)力學(xué)中的理論，利用現(xiàn)代電子計(jì)算機(jī)和各種數(shù)值方法，解決力學(xué)中的實(shí)際問(wèn)題的一門(mén)新興學(xué)科。它橫貫力學(xué)的各個(gè)分支，不斷擴(kuò)大各個(gè)領(lǐng)域中力學(xué)的研究和應(yīng)用范圍，同時(shí)也在逐漸發(fā)展自己的理論和方法。

 有限元方法從大的方面說(shuō)，有如下的研究?jī)?nèi)容：

 物理（Physics）、

 分析（Analysis）、

 幾何（Geometry）、

 數(shù)值方法（Numericalmethod）、

 拓?fù)洌═opology）、

 可視化（Visualization）、

 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)（Datastructure）、

 AI（AritificialIntelligence）、

 優(yōu)化（Optimization）。

 物理是指研究問(wèn)題的背景，當(dāng)年馮康教授、錢(qián)偉長(zhǎng)教授、胡海昌教授等正是從許多物理背景模型特別是固體力學(xué)出發(fā)成為一代有限元法大師的，有限元方法應(yīng)用的領(lǐng)域非常廣闊，在固體力學(xué)、結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)、流體力學(xué)、傳熱學(xué)、電磁場(chǎng)、滲流力學(xué)等領(lǐng)域發(fā)揮著很大的作用，在數(shù)學(xué)方面，像偏微分方程等也有很大的用途。

 分析是指有限元法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)為變分原理，它將物理模型的連續(xù)方程、守恒方程等轉(zhuǎn)化為變分形式，變分問(wèn)題和原來(lái)的偏微分方程是等價(jià)的，變分原理降低了原來(lái)偏微分方程解的連續(xù)性要求。變分的不同構(gòu)造形式衍生出了多種多樣的有限元的分枝。

 有限元是需要計(jì)算具體實(shí)現(xiàn)的，m.tyrp.net實(shí)現(xiàn)時(shí)首先要?jiǎng)澐钟?jì)算網(wǎng)格，網(wǎng)格從本質(zhì)上是幾何問(wèn)題，單元的幾何形態(tài)對(duì)精度有影響，因此不可能隨便劃分單元，像邊界元法只需要在邊界上劃分，它的基礎(chǔ)是格林方程，無(wú)網(wǎng)格方法只需要在域內(nèi)部點(diǎn)即可。任何物理場(chǎng)的存在都能視為一種幾何結(jié)構(gòu)，單元的集合構(gòu)成了物理場(chǎng)全部的幾何信息，涉及到幾何問(wèn)題，自然可以使用幾何方法，比如邊界表示法等，劃分是計(jì)算幾何的研究?jī)?nèi)容，目前已經(jīng)完全做到了幾何實(shí)體的表示到有限元網(wǎng)格數(shù)據(jù)的自動(dòng)轉(zhuǎn)換。

 有限元方法在具體計(jì)算時(shí)最消耗時(shí)間，可見(jiàn)數(shù)值計(jì)算在有限元方法中發(fā)揮著可以省工省時(shí)的作用，數(shù)值計(jì)算包括數(shù)值積分、線(xiàn)性代數(shù)方程求解、特征值求解三方面。后兩個(gè)是純算法問(wèn)題，算法的構(gòu)造直接影響著計(jì)算的效率，經(jīng)過(guò)幾十年的研究，誕生了很多高效、穩(wěn)定的算法，任何好的算法都是計(jì)算時(shí)間與數(shù)據(jù)貯存空間的某種“平衡”，數(shù)據(jù)貯存空間分為內(nèi)存與外存，省時(shí)間的算法占空間，省空間的算法費(fèi)時(shí)間，目前的算法很少有人考慮空間問(wèn)題；有些算法還考慮了硬件環(huán)境，如并行算法，一個(gè)值得注意的方向是所謂“Cluster”計(jì)算機(jī)，它將多種性能的計(jì)算機(jī)按照一定協(xié)議連接，可得到巨大的計(jì)算性能，形成所謂的“計(jì)算力”，而軟件獲取費(fèi)用幾乎是免費(fèi)的。實(shí)際上用戶(hù)可以想象，完全可以利用因特網(wǎng)或局域網(wǎng)上的空閑資源，為密集數(shù)值計(jì)算服務(wù)，比如問(wèn)題有一億個(gè)自由度，不同用戶(hù)可以計(jì)算出方程中一個(gè)小塊的某種特性，為解方程所用。目前這在解方程領(lǐng)域還是處女地，但在密碼分解、素?cái)?shù)分解、素?cái)?shù)發(fā)現(xiàn)等領(lǐng)域已有實(shí)現(xiàn)?！熬W(wǎng)格”系統(tǒng)是一個(gè)新的概念，有限元在其上的應(yīng)用是一個(gè)發(fā)展方向?；谕耆惒降乃神詈舷到y(tǒng)的算法是絕對(duì)是未來(lái)幾十年的發(fā)展方向。

 以上四個(gè)方面是基本的，下面幾點(diǎn)是一些技術(shù)因素：

 在有限元法中，節(jié)點(diǎn)和單元都是需要互相連接的，這可以視為一種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，節(jié)點(diǎn)的位置可以變化，拓?fù)溥B接不變，依照這種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)甚至能構(gòu)造出不同物理形狀的物體，拓?fù)溥B接在結(jié)構(gòu)優(yōu)化時(shí)也非常關(guān)鍵。

 無(wú)論是物理場(chǎng)還是幾何場(chǎng)，人們總希望以某種形象的方式表示它，這樣就能研究場(chǎng)的細(xì)節(jié)，這就是可視化的內(nèi)容。目前，可視化幾乎成了有限元軟件的基本要求，從前處理到后處理，用戶(hù)對(duì)可視化提出來(lái)非常高的要求，前處理要求和CAD軟件無(wú)縫集成，后處理則要求和一般的可視化軟件集成，這樣能大幅度降低開(kāi)發(fā)成本。

 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)是研究數(shù)據(jù)貯存和檢索的科學(xué)，在有限元程序中數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)可以說(shuō)是系統(tǒng)分析的內(nèi)容，系統(tǒng)分析一般用結(jié)構(gòu)化方法或OOP方法，這時(shí)要確定模塊的功能，甚至要考慮硬件的能力，比如貯存能力，用何種方法貯存“總體剛度”矩陣，像這方面的內(nèi)容有帶寬壓縮貯存、稀疏矩陣貯存等，這方面的技術(shù)非常成熟，依靠專(zhuān)業(yè)的數(shù)據(jù)庫(kù)服務(wù)器是最佳選擇。

 AI指人工智能，人工智能是研究邏輯及其推理的科學(xué)，有限元法和它結(jié)合可以解決求解策略、人工干涉程序計(jì)算方向的問(wèn)題，目前有關(guān)人工智能的應(yīng)用還不多見(jiàn)，商用軟件也未考慮此方面的因素，這個(gè)領(lǐng)域是廣闊的。

 優(yōu)化問(wèn)題在有限元中有這幾個(gè)方面的需求，如邊界形狀優(yōu)化、最小質(zhì)量、等強(qiáng)度、等應(yīng)變、動(dòng)力學(xué)參數(shù)優(yōu)化等，優(yōu)化問(wèn)題的特點(diǎn)是變量多（幾十/數(shù)百），許多實(shí)際的優(yōu)化算法這樣多的變量中穩(wěn)健性還有待提高。優(yōu)化問(wèn)題要必須考慮K*U=P、K(U)*U=P(U)、K*U=alpha*M*U方程的靈敏度分析，這是個(gè)公認(rèn)的難點(diǎn)問(wèn)題，精確計(jì)算往往因?yàn)橛?jì)算量太大而用差分法來(lái)替代。

 未來(lái)的一些可能方向：

 （1）辛問(wèn)題：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為辛幾何問(wèn)題，建立基于辛幾何場(chǎng)的有限元方法，辛幾何是面積守恒的，可望在大尺度時(shí)間、大空間尺度等應(yīng)用領(lǐng)域（如天體、粒子的大范圍輸運(yùn)等）發(fā)揮作用；

 （2）斯塔法問(wèn)題：建立完整的全空間、全時(shí)間尺度的有限元方法，以解決兩相乃至多相的自由邊界問(wèn)題，如軋鋼、南極的冰線(xiàn)移動(dòng)預(yù)測(cè)等；

 （3）發(fā)展方程：如孤波問(wèn)題，孤波是強(qiáng)非線(xiàn)性問(wèn)題，如果能使用有限元方法比將開(kāi)闊一個(gè)新的領(lǐng)域，目前已有研究，但是高維問(wèn)題進(jìn)展緩慢，這類(lèi)問(wèn)題目前在光通信領(lǐng)域有迫切應(yīng)用；

 （4）計(jì)算材料學(xué)問(wèn)題：從原子、分子、m.tyrp.net團(tuán)簇等的原始物理方程，研究介質(zhì)的微觀(guān)或者宏觀(guān)性能，是計(jì)算材料學(xué)的目標(biāo)，但是微觀(guān)粒子的互相作用模型大都是強(qiáng)非線(xiàn)性，弱解方程的建立，以及如何與宏觀(guān)的物理量，如應(yīng)力等建立有效聯(lián)系還是很大的問(wèn)題；計(jì)算材料學(xué)所涉及的海量計(jì)算一般用戶(hù)難以承受。

 （5）湍流問(wèn)題：目前已經(jīng)有一些較好的方法，如有限體積法等，仍需深入，目前湍流問(wèn)題實(shí)際上根本不是算法問(wèn)題，而是介質(zhì)的物理模型問(wèn)題；人們對(duì)湍流的認(rèn)識(shí)可能還受到目前科學(xué)技術(shù)水平的限制。

 （6）相變問(wèn)題、多物理場(chǎng)耦合問(wèn)題：物質(zhì)的相變或多場(chǎng)作用產(chǎn)生了特定的行為，相變意味著從一種穩(wěn)態(tài)躍遷或者變化到另一種穩(wěn)態(tài)，描述這種強(qiáng)烈的非線(xiàn)性行為，有限元方法還可能應(yīng)用嗎？在何種尺度上應(yīng)用？多物理場(chǎng)耦合問(wèn)題目前熱點(diǎn)很多，關(guān)鍵是不同場(chǎng)的作用機(jī)理，方程的解耦等研究，單從方法上，原創(chuàng)點(diǎn)不多。

 （7）分子力學(xué)、納米力學(xué)問(wèn)題：在分子、納米的尺度上，介質(zhì)或材料展現(xiàn)了迥異的行為，這是目前的研究熱點(diǎn)，目前這類(lèi)問(wèn)題還主要是物理問(wèn)題，有限單元方法只是一種算法、思想；如果科學(xué)家們研究清楚了分子之間的互相作用、納米團(tuán)聚間的互相作用，才可能到有限元發(fā)揮作用的時(shí)候。

 （8）與小波分析結(jié)合：“小波”被稱(chēng)為“數(shù)學(xué)顯微鏡”，對(duì)于時(shí)關(guān)系統(tǒng)，時(shí)間與頻率是同一系統(tǒng)的兩個(gè)不同方面，縮短時(shí)間與就能提高頻率的分辨率，這種思想可說(shuō)是“奇妙的”，有些類(lèi)似有限元中的譜法；受小波法啟示，如果在有限元中能夠找到一對(duì)分辨率彼此消長(zhǎng)的物理量，有可能大大提高有限元的應(yīng)用效率，在有限元中單元的大小與求解精度就是這樣一對(duì)物理量，還有其它的嗎？

 （9）經(jīng)濟(jì)、社會(huì)、管理領(lǐng)域：像目前固體力學(xué)中的多尺度方法一樣，在經(jīng)濟(jì)、社會(huì)、管理應(yīng)用領(lǐng)域微觀(guān)行為及其發(fā)展研究非常熱，我們想，在一個(gè)自封閉的系統(tǒng)內(nèi)，只要存在兩種微觀(guān)團(tuán)體的互相作用，互相作用的關(guān)系是可以量化的，這種作用能夠使得“系統(tǒng)”穩(wěn)定，耗散最小，能量最低，“系統(tǒng)”演化可以量化，有限元方法就一定能夠發(fā)生效用。當(dāng)然這并不排斥其它的解決方法。

 在研究有限元方法時(shí)，理解解析與數(shù)值計(jì)算的關(guān)系、理解逼近的思想、理解抽象與具體的相互關(guān)系，會(huì)發(fā)現(xiàn)此法是一個(gè)方法學(xué)集大成者，它不但將多種概念匯聚一身，又衍生出多種多樣的研究?jī)?nèi)容，無(wú)怪乎科學(xué)家們將它作為20世紀(jì)應(yīng)力力學(xué)的最偉大成就之一。

 有限元法不是萬(wàn)能的，關(guān)鍵是其思想，它完美的體現(xiàn)了哲學(xué)中局部與整體的關(guān)系，要解決整體問(wèn)題，必須先研究局部問(wèn)題，局部問(wèn)題研究清楚后，還要研究局部之間作用的關(guān)系，m.tyrp.net然后各個(gè)局部在一個(gè)統(tǒng)一的坐標(biāo)尺度下綜合，還要考慮整個(gè)系統(tǒng)和外部的關(guān)系，最后得到全局的特征。這種思想是自然的，符合人類(lèi)的思維規(guī)律，與企圖用公理化或者純解析化的思想來(lái)解決問(wèn)題不同。人類(lèi)最關(guān)心全局的東西，比如宇宙，及它的過(guò)去、現(xiàn)在和將來(lái)，但要窮極完全時(shí)間尺度、完全空間尺度的全局的性能只是人類(lèi)的“夢(mèng)想”，并不符合認(rèn)識(shí)論的一般規(guī)律，有些時(shí)候完全的“窮極”可能會(huì)導(dǎo)致“悲觀(guān)化”。

 有限元法不能解決全部的問(wèn)題，但這種局部與整體的思想加上計(jì)算機(jī)技術(shù)將這種工具發(fā)揮的淋漓盡致。早在有限元法創(chuàng)立以前，科學(xué)家們就已經(jīng)有了思想的“雛形”，比如：瑞利-里茲、伽列金等，但因計(jì)算工具落后，難能將這種思想發(fā)揚(yáng)光大，當(dāng)時(shí)他們根本無(wú)法看到用這種方法解決大范圍問(wèn)題的希望，只能在較小的范圍內(nèi)應(yīng)用，但確也取得了巨大的成就。

綜上，有限元方法是我們認(rèn)識(shí)世界的科學(xué)工具。

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