有限元分析時(shí)是網(wǎng)格畫的越細(xì)越精確嗎？
誠(chéng)然網(wǎng)格畫到無窮小，剛度矩陣無窮大，但這樣沒法計(jì)算，那網(wǎng)格畫到什么層度精度最高？
眾所周知，網(wǎng)格是有限元分析非常重要的一部分，結(jié)構(gòu)離散后的網(wǎng)格質(zhì)量直接影響到求解時(shí)間及求解結(jié)果的正確性,那網(wǎng)格畫到什么層度精度最高？
元王小編認(rèn)為在單元選用合理、計(jì)算假設(shè)合理、網(wǎng)格劃分合理的前提下，單元數(shù)量越多，結(jié)果越接近理論解。
很多時(shí)候，提高單元數(shù)量對(duì)于計(jì)算精度的提高，遠(yuǎn)遠(yuǎn)比不過選用更好更合理的單元類型。對(duì)于不同的求算對(duì)象，所需要的單元數(shù)量也不相同。一般來說，求算應(yīng)力需要比求算位移更多的單元，而求算剪應(yīng)力需要比正應(yīng)力更多的單元。
舉一個(gè)常見小例子，平面應(yīng)力問題，計(jì)算一根懸臂梁的變形和應(yīng)力：
懸臂梁的寬度為1，彈性模量30000，泊松比0.3，自由端承受豎向荷載100。求解A點(diǎn)的豎向位移、B點(diǎn)的正應(yīng)力、C點(diǎn)的剪應(yīng)力。
分別選用不同類型的四種單元計(jì)算，包括三節(jié)點(diǎn)三角形 CSTG、六節(jié)點(diǎn)三角形 LST、四節(jié)點(diǎn)四邊形 IPLQ、八節(jié)點(diǎn)四邊形 IPQQ。
首先計(jì)算位移和應(yīng)力的理論解：
A 點(diǎn)的豎向位移為0.895，B 點(diǎn)的正應(yīng)力為90，C 點(diǎn)的剪應(yīng)力為7.5。
然后分別用不同數(shù)量的四種單元進(jìn)行比較計(jì)算，所用軟件為 GT STRUDL，單元名稱按照 GT STRUDL 的命名，計(jì)算結(jié)果是這樣的：
隨著單元數(shù)量的增多，位移、正應(yīng)力和剪應(yīng)力結(jié)果都趨近于理論解。
對(duì)于不同的單元類型，趨近理論解的速度完全不同。同樣是32個(gè)單元，CSTG 的位移結(jié)果是0.5072，正應(yīng)力是33.11，與真實(shí)解 0.895 和 90 相差甚遠(yuǎn)。而32個(gè)單元的 LST 結(jié)果為0.8978和88.68，已經(jīng)很接近于理論解 0.895 和 90。
同樣是64個(gè)單元，IPLQ 的結(jié)果為 0.8715 、89.52，而 IPQQ 的結(jié)果則達(dá)到了 0.8999、90.01，可以說正應(yīng)力結(jié)果已經(jīng)非常非常接近理論解。
如果比較一下四邊形單元的結(jié)果和三角形單元的結(jié)果，差異更加明顯。對(duì)于位移結(jié)果來說，2000個(gè)CSTG單元的精度也比不上4個(gè)IPQQ單元的精度。
如果橫坐標(biāo)為單元數(shù)量，縱坐標(biāo)為計(jì)算結(jié)果，繪制一張收斂圖像的話，對(duì)于位移來說是這樣的：
對(duì)于這四種單元類型，要想達(dá)到類似的可以接受的精度水平，需要的單元數(shù)量完全不同。
根據(jù)上面的分析，想要得到精度可以接受的計(jì)算結(jié)果，CSTG 需要2000多個(gè)單元，而 IPQQ 僅需要64個(gè)。
所以結(jié)論就是，提高單元數(shù)量的確會(huì)提高計(jì)算精度，但前提是單元類型合理高效。對(duì)于提高精度來說，更合理的方法是選用更好的單元，而不是盲目的提高單元數(shù)量。
PS：Abaqus 的官方幫助文檔里同樣舉了類似的例子，比較了同樣的懸臂梁不同單元、不同網(wǎng)格下的梁端位移的計(jì)算結(jié)果，結(jié)論也是類似的。
Abaqus 的結(jié)果如下：
不同單元在四種網(wǎng)格尺寸（1x6、2x12、4x12、8x24）下的計(jì)算結(jié)果與理論解的比值
CPS4：0.074，0.242，0.242，0.561
CPS8：0.994，1.000，1.000，1.000
CPS4R：20，1.308，1.051，1.012
CPS8R：1.000，1.000，1.000，1.000
