CAE工程師必學(xué)：斷裂力學(xué)的一些知識點
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2021-06-16 16:13:00
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斷裂力學(xué)是近幾十年才發(fā)展起來了的一門新興學(xué)科，主要研究承載體由于含有一條主裂紋發(fā)生擴展（包括靜載及疲勞載荷下的擴展）而產(chǎn)生失效的條件。斷裂力學(xué)應(yīng)用于各種復(fù)雜結(jié)構(gòu)的分析，并從裂紋起裂、擴展到失穩(wěn)過程都在其分析范圍內(nèi)。由于它與材料或結(jié)構(gòu)的安全問題直接相關(guān)，因此它雖然起步晚，但實驗與理論均發(fā)展迅速，并在工程上得到了廣泛應(yīng)用。斷裂力學(xué)研究的方法是：從彈性力學(xué)方程或彈塑性力學(xué)方程出發(fā)，把裂紋作為一種邊界條件，考察裂紋頂端的應(yīng)力場、應(yīng)變場和位移場，設(shè)法建立這些場與控制斷裂的物理參量的關(guān)系和裂紋尖端附近的局部斷裂條件。國內(nèi)外相關(guān)研究現(xiàn)狀目前，斷裂力學(xué)總的研究趨勢是：從線彈性到彈塑性；從靜態(tài)斷裂到動態(tài)斷裂；從宏觀微觀分離到宏觀與微觀結(jié)合；從確定性方法到概率統(tǒng)計性方法。所以就斷裂力學(xué)本身而言，根據(jù)研究的具體內(nèi)容和范圍，它又被分為宏觀斷裂力學(xué)（工程斷裂力學(xué)）和微觀斷裂力學(xué)（屬金屬物理范疇）。宏觀斷裂力學(xué)又可分為彈性斷裂力學(xué)（它包括線性彈性斷裂力學(xué)和非線性彈性斷裂力學(xué)）和彈塑性斷裂力學(xué)（包括小范圍屈服斷裂力學(xué)和大范圍屈服斷裂力學(xué)及全面屈服斷裂力學(xué)）。工程斷裂力學(xué)還包括疲勞斷裂、蠕變斷裂、腐蝕斷裂、腐蝕疲勞斷裂及蠕變疲勞斷裂等工程中重要方面。如今在斷裂力學(xué)研究方法中，又引入可靠性理論，稱為概率斷裂力學(xué)，使斷裂力學(xué)的研究內(nèi)容更加豐富，也使斷裂力學(xué)的理論得到進一步的發(fā)展和完善，并在工程實際中發(fā)揮出越來越大的指導(dǎo)作用。為研究材料內(nèi)部含有裂紋對材料強度有多大影響，上世紀20年代的格里菲斯首先研究了含裂紋的玻璃強度，并得出斷裂能量的關(guān)系：
這就是著名的格里菲斯斷裂判據(jù)，其中，G 為裂紋尖端能量釋放率，γs 是表面自由能（材料每形成單位裂紋面積所需能量）。由此關(guān)系可得格里菲斯裂紋應(yīng)力和裂紋尺寸關(guān)系：
式中，a為裂紋長度。若G>2γs，裂紋將擴展；若G<2γs，裂紋不會擴展；若G=2γs，為極限狀態(tài)。又，若裂紋擴展，且dG/da>0，可以確定為失穩(wěn)擴展；若裂紋擴展，且dG/da<0，則裂紋止裂。裂紋頂端區(qū)域彈性應(yīng)力場強度因子的簡稱，是線彈性力學(xué)中反映裂紋頂端區(qū)域彈性應(yīng)力場強弱的力學(xué)參數(shù)，以符號KI 表示。對裂紋頂端附近區(qū)域應(yīng)力場的研究可知：靠近裂紋頂端的應(yīng)力，在趨近于裂紋頂端處，其數(shù)值以某種方式趨向于無窮大，即具有奇異性。因此，不能用此處應(yīng)力來衡量其強度。而KI 值能反映裂紋頂端區(qū)域彈性應(yīng)力場的強度，它的數(shù)值大小與所受荷載的大小、裂紋尺寸及幾何形狀有關(guān)，格里菲斯裂紋的數(shù)學(xué)表達式為：其中，σ 為應(yīng)力，a 為裂紋長度，按裂紋擴展的三種形式有KI、KII、KIII，分別表示 I 型，II 型和 III 型裂紋的應(yīng)力強度因子。其中，對于 I 性裂紋：注：應(yīng)力強度因子適用于裂紋尖端塑性區(qū)比 K 場區(qū)小幾倍，也比裂紋長度小幾倍，如韌性材料。1968年由賴斯 (J．R．Rice) 提出。它反映裂紋頂端由于大范圍屈服而產(chǎn)生的應(yīng)力、應(yīng)變集中程度。J積分的定義是：用于研究平面問題,它代表與裂紋擴展有關(guān)的能量。式中右側(cè)第一項是與應(yīng)變能有關(guān)的能量，其中，W 是應(yīng)變能的密度（即單位體積應(yīng)變能）。在彈塑性情況下，為單調(diào)加載過程中試件各處體元所接受的應(yīng)力變形功密度（包括彈性應(yīng)變能和塑性變形功）。第二項是ds 上面力分量；ds 是路徑Γ 上的弧元。
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J積分能決定裂紋頂端彈塑性應(yīng)力應(yīng)變場；
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式中，B 為試件厚度，U 為試件的形變功，▽為給定位稱。上式是 J 積分得以實驗測定的基礎(chǔ)。斷裂力學(xué)中表示裂紋在材料中發(fā)生穩(wěn)定擴展行為的曲線（下圖所示）?？v坐標為裂紋擴展的阻力，用 J 積分、CTOD的δ 或應(yīng)力強度因子K 表示，橫坐標為裂紋擴展量△a。裂紋未擴展時曲線與縱軸重合，一旦擴展則△a≠0，曲線便偏離縱軸，拐點即為起裂點。再后面表示穩(wěn)定擴展過程。當曲線上某點的切線能通過水平負軸上表示裂紋長度的點時，表示將發(fā)生失穩(wěn)擴展。失穩(wěn)時裂紋擴展推動力與裂紋擴展阻力隨裂紋尺寸的變化率相同，不需加載裂紋即會自行快速擴展而斷裂。阻力曲線可以用試樣測試，可用于確定起裂值（δi 或JIC）或條件起裂值（δ0.005或J0.005等），也可用以預(yù)測構(gòu)件中裂紋發(fā)生亞臨界擴展的過程。隨著斷裂力學(xué)研究的日益深入，需要求解的問題日趨復(fù)雜化和多樣化，使得如何建立高效、高精度的計算方法成為學(xué)者們研究的熱點。由于計算機科學(xué)、計算數(shù)學(xué)和力學(xué)等學(xué)科的不斷發(fā)展，用于解決斷裂力學(xué)問題的數(shù)值計算方法不斷涌現(xiàn)，從早期的有限差分法、有限元法、邊界元法到現(xiàn)在的無網(wǎng)格法、數(shù)值流形法、小波數(shù)值法、非連續(xù)變形分析等，它們正成為推動斷裂力學(xué)研究不斷發(fā)展的重要工具。在有限元解的情況下，通過應(yīng)力恢復(fù)、誤差估計和新網(wǎng)格自動劃分，進而再進行有限元求解，重復(fù)這一過程直至得到滿意的有限元解。另外，隨機分析是斷裂力學(xué)發(fā)展的一個重要方向，也是結(jié)構(gòu)可靠性評估的基礎(chǔ)。隨機有限元法在有限元法的基礎(chǔ)上，采用隨機參數(shù)來描述工程實際問題，主要研究內(nèi)容包括隨機變分原理、隨機有限元控制方程的建立及其求解。這是繼有限元法之后發(fā)展起來的一種求解力學(xué)問題的數(shù)值方法。其構(gòu)成包含如下三個主要部分：
這種方法的優(yōu)點是應(yīng)用Guass定理使問題降階，將三維問題化為二維問題，將二維問題化為一維問題，使數(shù)據(jù)的準備大為簡化，網(wǎng)格的劃分和重新調(diào)整更為方便，最后形成的代數(shù)方程組的規(guī)模也小得多。
也叫無單元法。該方法將整個求解域離散為獨立的節(jié)點，而無須將節(jié)點連成單元，它不需要劃分網(wǎng)格，從而克服了有限元法在計算過程中要不斷更新網(wǎng)格的缺陷。計算過程中可以實時跟蹤裂紋尖端區(qū)域進行局部細化，將連續(xù)的裂紋擴展過程看作多個線性增量，每一個增量內(nèi)裂紋擴展角根據(jù)應(yīng)力強度因子確定。通過在裂紋尖端細化節(jié)點引入外部基函數(shù)提高計算精度。
該方法的基本思想是將微分幾何的流形原理引入材料分析，以拓撲流形與微分流形為基礎(chǔ)，同時吸收有限元中插值函數(shù)構(gòu)造方法與非連續(xù)變形分析中塊體運動學(xué)理論兩方面的優(yōu)勢，把連續(xù)和非連續(xù)變形力學(xué)問題統(tǒng)一起來。
該方法利用了小波具有的良好局部化特性，用小波函數(shù)對位移場進行逼近，建立了小波數(shù)值計算格式，模擬了裂紋尖端的奇異性問題并求解出裂紋尖端的應(yīng)力強度因子。上述方法或理論均源于格里菲斯的斷裂理論，是建立在奇異性基礎(chǔ)上的，即均基于裂紋頂端應(yīng)力與應(yīng)變?yōu)闊o限大的模式展開的。Inglis數(shù)學(xué)尖裂紋模型的彈性力學(xué)解釋斷裂理論的基礎(chǔ)，這種數(shù)學(xué)尖裂紋上下表面間距為零，裂紋頂端曲率半徑也為零，因而有彈性力學(xué)求出的應(yīng)力分量在裂紋頂端處為無限大，這種現(xiàn)象稱為奇異性。奇異性理論一直延續(xù)至今，但奇異性斷裂力學(xué)在物理上存在本質(zhì)的缺陷，這主要表現(xiàn)在兩方面：
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其一，在實際中發(fā)現(xiàn)的裂紋其上下表面間距和裂紋頂端曲率半徑都是有限值，且不等于零；
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其二，實際裂紋，即使在裂紋頂端，應(yīng)力與應(yīng)變均為有限值，不存在所謂的應(yīng)力與應(yīng)變的奇異性。
這樣，基于數(shù)學(xué)尖裂紋和應(yīng)力奇異性的物理量缺乏堅實的物理基礎(chǔ)。為了完善理論，呈現(xiàn)非奇異性，可以采用比較符合真實情形的半圓形頂端的鈍裂紋（或切口）模型，但鈍裂紋的曲率半徑的測量需要用金相的方法測出，這就需要金相斷裂力學(xué)的發(fā)展。
彈塑性斷裂力學(xué)雖取得了一些進展，但仍有許多尚待深入研究的問題，它是當前斷裂力學(xué)的主要研究方向之一。斷裂動力學(xué)，對于線性材料還有待完善；對于非線性材料，尚處于研究初期，是斷裂力學(xué)的又一主要研究方向。隨著對斷裂問題的深入研究及數(shù)學(xué)工具的方便使用，斷裂力學(xué)理論會日益成熟，斷裂力學(xué)應(yīng)用會日漸廣泛。對于數(shù)值計算方法，其未來的發(fā)展趨勢為：跨尺度的斷裂力學(xué)數(shù)值計算方法、并行數(shù)值計算方法、解析法與數(shù)值法的結(jié)合、多種計算方法的有機結(jié)合、數(shù)據(jù)處理自動化。
