材料力學(xué)筆記之——應(yīng)力集中與應(yīng)力奇異

應(yīng)力集中

從以上的分析來(lái)看，應(yīng)力集中通常出現(xiàn)在構(gòu)件空間發(fā)生突變，空間曲率或梯度發(fā)生改變的位置；若過(guò)渡區(qū)域不光滑連續(xù)，則可能會(huì)出現(xiàn)應(yīng)力奇異。由此，構(gòu)件內(nèi)應(yīng)力集中現(xiàn)象與構(gòu)件空間的性質(zhì)相關(guān)，對(duì)于應(yīng)力集中的原因從“場(chǎng)”的觀點(diǎn)來(lái)解釋或許會(huì)更為恰當(dāng)。力或應(yīng)力在空間中的傳遞過(guò)程中所形成的“場(chǎng)”與流體相似。在“傳遞”或“流經(jīng)”的路徑上，空間性質(zhì)的改變將會(huì)使其產(chǎn)生調(diào)整，并重新分布。目前尚未查閱到深入探討相關(guān)相似問(wèn)題的文獻(xiàn)，但相信這可能會(huì)很有趣。如果將這種應(yīng)力集中的局部現(xiàn)象推廣到宇宙空間，會(huì)是什么樣的區(qū)域存在“應(yīng)力集中”呢？“應(yīng)力集中”區(qū)域會(huì)有哪些奇觀呢？

出現(xiàn)應(yīng)力集中的區(qū)域

通過(guò)研究得出：

• 材料夾雜與基體彈性模量的差異越大，產(chǎn)生的局部應(yīng)力集中也越大，氣孔導(dǎo)致的應(yīng)力集中大于硬夾雜；

  
  

• 多個(gè)夾雜存在時(shí)，相鄰的應(yīng)力場(chǎng)會(huì)發(fā)生耦合強(qiáng)化作用，強(qiáng)化效果與夾雜排列方向和加載方向有關(guān)；

  
  

• 在忽略?shī)A雜的循環(huán)塑性條件下，循環(huán)應(yīng)力對(duì)氣孔周?chē)鷳?yīng)力集中影響較大，但對(duì)硬夾雜周?chē)鷳?yīng)力集中影響很??；

  
  

• 氣孔非?？拷砻鏁r(shí)，應(yīng)力水平越高，應(yīng)力應(yīng)變集中系數(shù)Kg越大，裂紋容易在表面萌生。氣孔的位置較深時(shí)，應(yīng)力水平越低，Kg越大，裂紋容易在內(nèi)部夾雜處萌生。

應(yīng)力集中的影響

對(duì)于脆性材料，應(yīng)力集中處的應(yīng)力達(dá)到比例極限后材料開(kāi)始破壞。通常裂紋是在應(yīng)力集中處形成，然后更大的應(yīng)力集中將產(chǎn)生于裂紋尖端處，這反過(guò)來(lái)引起裂紋在該截面的進(jìn)一步擴(kuò)展，導(dǎo)致材料的突然斷裂。

對(duì)于塑性材料，并承受靜態(tài)載荷時(shí)，細(xì)小的幾何缺陷、劃痕、小圓角等不需要過(guò)于擔(dān)心，設(shè)計(jì)者通常忽略應(yīng)力集中系數(shù)的影響。因?yàn)榇藭r(shí)應(yīng)力超過(guò)材料比例極限并不會(huì)導(dǎo)致裂紋產(chǎn)生。反而，由于屈服和應(yīng)變強(qiáng)化的影響，材料還有進(jìn)一步承載的能力。但在動(dòng)載荷或交變載荷作用下，應(yīng)力集中部位是疲勞裂紋的重要發(fā)源地，降低構(gòu)件的疲勞壽命。

1. 圓角

軸的圓角半徑r 與疲勞極限σ-1 之間的關(guān)系是：隨著圓角半徑r 減小，直徑d 增大，疲勞缺口應(yīng)力集中系數(shù)急劇增大；反之則反。據(jù)我國(guó)某拖拉機(jī)廠統(tǒng)計(jì)分析了180根曲軸的疲勞斷裂案例，發(fā)現(xiàn)大多數(shù)斷裂時(shí)有與大修時(shí)軸徑磨削使軸徑的圓角半徑小于設(shè)計(jì)規(guī)定 (r=6) 所致，其中圓角r=1.5~3的斷軸率為70.8%，r=3~4的占18%，r=4~5的占4%[14]。

2. 縱向溝槽

如鍵槽和花鍵等軸上的縱向溝槽，是承受扭轉(zhuǎn)應(yīng)力軸件的常見(jiàn)失效發(fā)源地。這類(lèi)失效大多數(shù)發(fā)生在尖角處，因?yàn)閼?yīng)力集中而萌生小裂紋造成疲勞斷裂。分析表明，鍵槽尖角引起的局部應(yīng)力可達(dá)到平均額定應(yīng)力的十倍。

3. 孔

軸類(lèi)零件開(kāi)一橫孔后，孔內(nèi)側(cè)的理論應(yīng)力集中系數(shù)Kt 隨著d/D 比值的上升而距離增大(d，橫孔直徑；D 為軸向直徑)。

4. 受內(nèi)壓殼體開(kāi)孔接管處的應(yīng)力集中

壓力容器接管處的應(yīng)力集中較小孔嚴(yán)重的多，應(yīng)力集中系數(shù)可達(dá)到3~6，但其應(yīng)力衰減迅速，具有明顯的局部性，不會(huì)使殼體引起任何顯著的變形，故可以允許應(yīng)力峰值超過(guò)材料的平均屈服應(yīng)力。

5. 橢圓孔

橢圓孔無(wú)限大板，在其均勻應(yīng)力垂直于橢圓長(zhǎng)軸的情況下，最大應(yīng)力發(fā)生在橢圓孔的長(zhǎng)軸端點(diǎn)處，應(yīng)力集中系數(shù)為Kt=1+2a/b。

6. V型缺口尖端ρ→0時(shí)

形成一個(gè)尖銳缺口，在拉伸應(yīng)力作用下，缺口尖端的應(yīng)力趨于無(wú)限大，將出現(xiàn)所謂的奇異性。缺口尖端局部區(qū)應(yīng)力可以表示為：σij∝r -1+λ；λ 為奇異指數(shù)，λ 與V 形缺口角β 有關(guān)，當(dāng)β=180°時(shí)，λ=1，無(wú)缺口情況；當(dāng)β＜180°時(shí)，λ 總小于1，當(dāng)r →0時(shí)，缺口尖端應(yīng)力具有奇異性；β=0.5時(shí)，缺口轉(zhuǎn)化為裂紋，λ=0.5時(shí)，即裂紋尖端的應(yīng)力奇異指數(shù)為0.5。

7. 重復(fù)缺口

重復(fù)缺口效應(yīng)是指，兩個(gè)或兩個(gè)以上的應(yīng)力集中因素互相重疊而使應(yīng)力集中進(jìn)一步加劇的現(xiàn)象，如圖1所示。如果應(yīng)力集中因素Ⅱ的作用遠(yuǎn)小于應(yīng)力集中因素Ⅰ的作用，則二重應(yīng)力集中因素KⅠ,Ⅱ=KⅠKⅡ；如果應(yīng)力集中因素Ⅱ的作用遠(yuǎn)超過(guò)應(yīng)力集中系數(shù)Ⅰ，則缺口效應(yīng)主要取決于應(yīng)力集中因素Ⅱ。

圖1 重復(fù)應(yīng)力集中

8. 熔焊接頭

在熔焊接頭中，焊縫與母材的過(guò)渡處（焊趾）產(chǎn)生應(yīng)力集中。焊趾是焊接接口中的典型缺口，其缺口應(yīng)力可以分解為平均應(yīng)力σm、彎曲應(yīng)力σb 和非線性應(yīng)力σp。對(duì)接接頭應(yīng)力集中系數(shù)的大小，主要取決于焊縫余高和焊縫向母材的過(guò)渡圓弧半徑及夾角，增加余高和減小過(guò)渡圓弧半徑，都會(huì)使應(yīng)力集中系數(shù)增加。T形（十字）焊接接頭焊縫向母材過(guò)渡較急劇，其工作應(yīng)力分布極不均勻，在角焊縫的根部和焊趾都存在嚴(yán)重的應(yīng)力集中。

搭接焊縫在只有正面焊縫的搭接接頭中，工作應(yīng)力分布極不均勻，在角焊縫根部和焊趾處都有嚴(yán)重的應(yīng)力集中。在用側(cè)面焊縫聯(lián)接的搭接接頭中，其工作應(yīng)力更為復(fù)雜。各種焊接接頭焊后都存在不同程度的應(yīng)力集中，應(yīng)力集中對(duì)接頭強(qiáng)度的影響與材料性能、載荷類(lèi)型和環(huán)境條件等因素有關(guān)。如果接頭所用材料有良好的塑性，接頭破壞前有顯著的塑性變形，使得應(yīng)力在加載過(guò)程中發(fā)生均勻化，則應(yīng)力集中對(duì)接頭的靜強(qiáng)度不會(huì)產(chǎn)生影響。

點(diǎn)焊焊接接頭應(yīng)力集中程度比電弧焊搭接接頭的應(yīng)力集中程度嚴(yán)重，點(diǎn)焊接頭承受載荷時(shí)，其焊點(diǎn)周?chē)a(chǎn)生不同程度的應(yīng)力集中，點(diǎn)焊接頭的抗拉強(qiáng)度明顯低于抗剪強(qiáng)度，所以在一般使用中，應(yīng)盡量避免點(diǎn)焊接頭承受圖2所示載荷。焊接節(jié)點(diǎn)部位由于傳力方向改變產(chǎn)生復(fù)雜的結(jié)構(gòu)應(yīng)力，結(jié)構(gòu)應(yīng)力與節(jié)點(diǎn)焊縫的應(yīng)力集中互相疊加。焊接節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力集中分析是焊接結(jié)構(gòu)強(qiáng)度設(shè)計(jì)中需要考慮的重要因素，焊接缺陷是焊接結(jié)構(gòu)中最嚴(yán)重的不完整性，對(duì)焊接結(jié)構(gòu)承載能力有顯著的影響，并在缺陷周?chē)a(chǎn)生應(yīng)力集中。

圖2 點(diǎn)焊承受的載荷及應(yīng)力分布

應(yīng)力集中與圣維南原理

圣維南原理所描述的局部效應(yīng)與應(yīng)力集中存集聚之處，都是應(yīng)力、應(yīng)變的局部效應(yīng)，但也有所區(qū)別。圣維南原理主要描述的是邊界條件等效所引起的局部應(yīng)力，應(yīng)變誤差的影響問(wèn)題；而應(yīng)力集中則主要探討構(gòu)件空間突變所引起的應(yīng)力集中問(wèn)題。圣維南原理是在計(jì)算求解力學(xué)問(wèn)題時(shí)的一個(gè)邊界簡(jiǎn)化假設(shè)依據(jù)，且描述相對(duì)模糊；而應(yīng)力集中則是力學(xué)求解的一種結(jié)果，且應(yīng)力集中的局部特性可以進(jìn)行量化描述。

關(guān)于矩形板、圓形開(kāi)孔的孔邊應(yīng)力集成程度與距離圓孔中心遠(yuǎn)近的關(guān)系，即一矩形薄板，在離開(kāi)邊界較遠(yuǎn)處有半徑為a 的小圓孔，左右兩側(cè)受局部拉力，集度（內(nèi)應(yīng)力）為q，通過(guò)分析得出，應(yīng)力在孔邊 (ρ=a) 是無(wú)孔時(shí)的3倍；ρ=2a 時(shí)為1.22q；ρ=3a 時(shí)為1.07q；ρ=4a 時(shí)為1.04q。

圖3 帶圓孔矩形薄板應(yīng)力集中問(wèn)題

應(yīng)力集中系數(shù)

1. 拉伸應(yīng)力集中系數(shù)

理論應(yīng)力集中因素等于應(yīng)力集中處的最大應(yīng)力σmax 與該界面的平均應(yīng)力σnom 的比，即K=σmax/σnom。其中，σnom=FN/A，A 是考慮截面削弱后的橫截面面積，稱(chēng)為凈面積；有時(shí)平均應(yīng)力的計(jì)算可以不考慮截面的削弱。理論應(yīng)力集中系數(shù)K 始終大于1。對(duì)于板寬超過(guò)孔徑4倍的板條，理論應(yīng)力集中因素K≈3。

2. 扭轉(zhuǎn)應(yīng)力集中

在工程上為了避免在軸尺寸不連續(xù)處進(jìn)行復(fù)雜的應(yīng)力分析，最大切應(yīng)力通常可根據(jù)特定的幾何結(jié)構(gòu)由一扭轉(zhuǎn)應(yīng)力集中系數(shù)K 確定，τmax=KTc/J。T 是截面上的合力矩，J 是截面極慣性矩，c 是軸的外半徑。

3. 彎曲應(yīng)力集中系數(shù)

σmax=KMc/I，K 是應(yīng)力集中系數(shù)；M 是關(guān)于橫截面中性軸的合內(nèi)力偶矩，I 是橫截面關(guān)于中心軸的慣性矩，c 是梁外表面到中性軸的垂直距離。

應(yīng)力集中系數(shù)是基于靜態(tài)加載給出的，并假設(shè)材料內(nèi)部應(yīng)力不能超過(guò)其本身的比例極限，材料是各向同性且均勻的。局部最大應(yīng)力可以用彈性力學(xué)解析法、光彈法或有限元法求得，從而得到各種幾何形狀的試樣在各種載荷下的理論應(yīng)力集中系數(shù)。常見(jiàn)構(gòu)件形狀的應(yīng)力集中系數(shù)曲線，可查閱機(jī)械設(shè)計(jì)手冊(cè)[9]，但需要注意的是，不同的載荷和截面形式所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力集中系數(shù)是不同的。

應(yīng)力集中有限元求解的網(wǎng)格劃分

有限元分析建模，網(wǎng)格劃分時(shí)，對(duì)于不同部位的單元可以采用不同的大小，也應(yīng)當(dāng)采用不同的大小。對(duì)于邊界比較曲折的部位是應(yīng)力和位移變化的比較劇烈的部位，單元必須小一些；在邊界比較平直的部位、次要部位以及應(yīng)力和位移變化比較平緩的部位，單元可以大一些。當(dāng)結(jié)構(gòu)存在凹槽或孔洞時(shí)，在凹槽或孔洞附近將發(fā)生應(yīng)力集中，即該處的應(yīng)力較大且變化劇烈，必須把該處的網(wǎng)格劃得較為緊密，以便更為貼切的描述此處的應(yīng)力和應(yīng)變的變化。對(duì)此，一般有兩種方法：

由于應(yīng)力集中區(qū)域的應(yīng)力在結(jié)構(gòu)強(qiáng)度分析中的重要性。因此，獲得精準(zhǔn)、穩(wěn)定、可靠的解至關(guān)重要。在有限元分析中，則是要消除離散誤差，獲得網(wǎng)格無(wú)關(guān)解。離散誤差的大小同離散方程的截?cái)喽握`差有關(guān)。在相同的網(wǎng)格步長(zhǎng)下，一般來(lái)說(shuō)隨著截?cái)嗾`差階數(shù)提高，離散誤差會(huì)逐漸減小。

對(duì)于同一離散格式，網(wǎng)格加密，離散誤差也會(huì)減小。在實(shí)際計(jì)算中，應(yīng)使得網(wǎng)格細(xì)密到即使再進(jìn)一步細(xì)化網(wǎng)格，在工程允許的誤差范圍內(nèi)數(shù)據(jù)值解也幾乎不再發(fā)生變化，此時(shí)的解則認(rèn)為是網(wǎng)格無(wú)關(guān)解。目前大多數(shù)有限元軟件都是采用“位移法”進(jìn)行求解，其中通過(guò)虛功原理和最小作用原理，最先求解的未知量就是位移。因而，若在隨著網(wǎng)格逐步精細(xì)化的過(guò)程中，位移結(jié)果收斂于一個(gè)有限值，而應(yīng)力則是發(fā)散的，出現(xiàn)此類(lèi)情況也可以判斷此處出現(xiàn)了應(yīng)力奇異。

應(yīng)力集中的預(yù)防與利用

下面是在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，避免應(yīng)力集中的一些基本措施：

• 避免零件兩交接部位的截面尺寸相差太大；

  
  

• 增大零件上過(guò)渡曲線的曲率半徑，比如加大軸徑變化處的圓角半徑；

  
  

• 降低承受沖擊載荷零件的剛度；

  
  

• 加大壓配合部分軸的尺寸或開(kāi)卸載槽；

  
  

• 焊接結(jié)構(gòu)件要避免將焊縫布置在應(yīng)力集中處，對(duì)于動(dòng)載荷結(jié)構(gòu)尤應(yīng)注意。

  
  

• 合理設(shè)置筋板、肋板，分散或轉(zhuǎn)移應(yīng)力集中。

應(yīng)力集中雖然對(duì)于承載結(jié)構(gòu)來(lái)講存在不利影響，但正是由于應(yīng)力集中效應(yīng)，為一些功能的實(shí)現(xiàn)起到重要作用。比如，食品袋上的缺口，可以方便食用時(shí)撕開(kāi)；易拉罐拉片周?chē)膲汉鬯a(chǎn)生應(yīng)力集中，以方便開(kāi)罐，等等。這些有效利用應(yīng)力集中效應(yīng)的實(shí)際案例，對(duì)于在使用中需要破壞和去除的結(jié)構(gòu)來(lái)講是有利的。

應(yīng)力奇異與判斷

根據(jù)彈性理論在結(jié)構(gòu)內(nèi)部尖角處，或說(shuō)非光滑連續(xù)處的應(yīng)力是無(wú)限大。在使用有限元求解過(guò)程中，應(yīng)力奇異具有以下特點(diǎn)：

在有限元計(jì)算分析實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，應(yīng)力奇異的區(qū)域應(yīng)力集中系數(shù)較高，理論上是無(wú)限大，應(yīng)力集中度會(huì)很高，應(yīng)力衰減明顯。因此在分析中，首先需要關(guān)注的是結(jié)構(gòu)上那些不光滑連續(xù)的區(qū)域；其次，對(duì)不連續(xù)區(qū)域的鄰域進(jìn)行劃分，并在網(wǎng)格細(xì)化，尋找網(wǎng)格無(wú)關(guān)解的過(guò)程，比較確認(rèn)不同區(qū)域計(jì)算值的收斂程度。當(dāng)不連續(xù)區(qū)域鄰域內(nèi)的解已趨于收斂，且滿(mǎn)足誤差要求，但不連續(xù)區(qū)域的解始終差異較大時(shí)，就可以確認(rèn)該區(qū)域出現(xiàn)了應(yīng)力奇異。

應(yīng)力奇異處理

在遇到應(yīng)力奇異時(shí)，可以考慮采用以下方法進(jìn)行處理：

• 細(xì)化模型。主要是在模型中添加細(xì)節(jié)特征（如倒角、過(guò)渡面等），再重新計(jì)算或者采用子模型法進(jìn)行分析。

  
  

• 外插值法或路徑法。假設(shè)應(yīng)力奇異在該區(qū)域沒(méi)有發(fā)生用來(lái)推斷奇異點(diǎn)的應(yīng)力值，可使用應(yīng)力集中系數(shù)來(lái)計(jì)算真實(shí)應(yīng)力。

  
  

• 局部細(xì)化網(wǎng)格。在幾何尖角處，應(yīng)力解梯度大的區(qū)域網(wǎng)格應(yīng)細(xì)分，其他遠(yuǎn)離的位置可以粗劃。如果遠(yuǎn)離奇異點(diǎn)的解是收斂的，則粗糙網(wǎng)格也會(huì)較為準(zhǔn)確的估計(jì)這部分的解，但對(duì)于接近奇異點(diǎn)的解是不可靠的。

  
  

• 將模型轉(zhuǎn)化為可借用理論公式計(jì)算的形式，并根據(jù)設(shè)計(jì)手冊(cè)查找該模型結(jié)構(gòu)及尺寸的應(yīng)力集中系數(shù)來(lái)預(yù)測(cè)真實(shí)應(yīng)力。

來(lái)源：產(chǎn)品設(shè)計(jì)研習(xí)社