有限元方法的國內(nèi)外研究現(xiàn)狀及應(yīng)用實(shí)例

 有限元方法法的基本概念是用較簡單的問題代替復(fù)雜問題后再求解。有限元法的基本思想是先化整為零﹑再積零為整，也就是把一個(gè)連續(xù)體分割成有限個(gè)單元；即把一個(gè)結(jié)構(gòu)看成由若干通過節(jié)點(diǎn)相連的單元組成的整體，先進(jìn)行單元分析，然后再把這些單元組合起來代表原來的結(jié)構(gòu)進(jìn)行整體分析。深圳市有限元科技有限公司是一家有十年有限元分析項(xiàng)目經(jīng)驗(yàn)的高科技企業(yè)，公司代理國外多款著名有限元軟件，并提供軟件的銷售與培訓(xùn)業(yè)務(wù)，另研發(fā)出多款行業(yè)有限元通用軟件，并秉承以最高質(zhì)量的產(chǎn)品和最高質(zhì)量的服務(wù)滿足客戶的各種需求的服務(wù)理念，致力于為客戶提供一站式有限元整體解決方案，目前已為全國超過500家企業(yè)提供有限元分析服務(wù)。如需購買有限元軟件或咨詢服務(wù)請聯(lián)系電話：13632683051，咨詢QQ：4006046636。

 1、有限元方法的國內(nèi)外研究現(xiàn)狀及應(yīng)用實(shí)例

 “有限單元法”這一名稱是克拉夫（Clough）在1960年首先引用的。它是隨著電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展而迅速發(fā)展起來的一種現(xiàn)代計(jì)算方法。它雖然是50年代首先在連續(xù)體力學(xué)領(lǐng)域—飛機(jī)結(jié)構(gòu)靜、動態(tài)特性分析中應(yīng)用過的一種有效的數(shù)值分析方法，但是，由于它所依據(jù)理論的普遍性，已經(jīng)能夠成功地用來求解其它工程領(lǐng)域中的許多問題。隨后很快廣泛的應(yīng)用于求應(yīng)力場、位移場、電磁場、溫度場、流體場等連續(xù)性問題。涉及了很多的工程學(xué)科，如機(jī)械設(shè)計(jì)、聲學(xué)、電磁學(xué)、巖土力學(xué)、流體力學(xué)等。在機(jī)械工程領(lǐng)域，有限元被廣泛的應(yīng)用于機(jī)構(gòu)、振動和傳熱問題上。

 （1）有限元的發(fā)展趨勢

 縱觀當(dāng)今國際上有限元軟件的發(fā)展情況，可看出有限元軟件的一些發(fā)展趨勢：與CAD軟件的無縫集成；更為強(qiáng)大的網(wǎng)格處理能力；由求解線性問題發(fā)展到求解非線性問題；由單一結(jié)構(gòu)場求解發(fā)展到耦合場問題的求解；程序面向用戶開放性等。

 （2）有限元的應(yīng)用實(shí)例

 ①地鐵振動預(yù)測的周期性有限元—邊界元耦合模型

 Jones利用有限元—無限元耦合二維模型計(jì)算了鐵路隧道內(nèi)及周圍土體的動力響應(yīng)。針對地鐵列車運(yùn)行引起的隧道結(jié)構(gòu)和自由場中的振動響應(yīng)問題，提出了一個(gè)在頻率—波數(shù)域內(nèi)的三維周期性有限元—邊界元耦合的數(shù)值模型，此模型中隧道結(jié)構(gòu)采用有限元法計(jì)算，自由場采用邊界元法模擬。此模型采用Floquet變換，利用隧道和自由場在隧道軸線方向上的周期性，把無限長的隧道及自由場的網(wǎng)格劃分限制在一個(gè)基本元內(nèi)，這樣使動力學(xué)數(shù)值計(jì)算的效率大大提高。利用此模型計(jì)算了在隧道底板上施加固定單位諧振荷載情況下隧道—自由場相互作用系統(tǒng)的動力響應(yīng)，結(jié)果表明此模型可應(yīng)用于地鐵列車運(yùn)行引起的隧道和自由場中的動力響應(yīng)預(yù)測。

 ②永磁直線同步電機(jī)解析分析及有限元驗(yàn)證

 對永磁直線同步電動機(jī)具有邊端效應(yīng)、氣隙不均勻、氣隙磁場分布復(fù)雜、永久磁極幾何尺寸難以確定的問題，給出了單段永磁直線同步電動機(jī)氣隙磁場的二維解析分析，討論了電機(jī)的各主要尺寸參數(shù)對氣隙磁場和性能的影響，提出了永久磁極的設(shè)計(jì)原則和計(jì)算公式，分析了考慮飽和影響、計(jì)及邊端效應(yīng)時(shí)分段式永磁直線同步電動機(jī)的非線性、不對稱、變化的自感和互感參數(shù)的解析計(jì)算方法，得到了定子繞組自感和互感系數(shù)隨動子位置不同時(shí)的變化曲線。有限元數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明，導(dǎo)出的分段式永磁直線同步電動機(jī)永久磁極的設(shè)計(jì)計(jì)算公式以及電機(jī)變電感參數(shù)解析計(jì)算公式是適用的。

 ③基于響應(yīng)面的橋梁有限元模型修正

 采用試驗(yàn)設(shè)計(jì)和回歸分析方法，以顯式的響應(yīng)面模型逼近特征量與設(shè)計(jì)參數(shù)間復(fù)雜的隱式函數(shù)關(guān)系，得到簡化的結(jié)構(gòu)模型(Meta-model)，給出有限元模型修正過程。針對復(fù)雜的土木工程結(jié)構(gòu)，討論樣本選擇、修正參數(shù)選取以及如何從眾多因素中較合理地建立結(jié)構(gòu)的響應(yīng)面模型。用數(shù)值模擬算例和六跨連續(xù)梁橋環(huán)境振動試驗(yàn)結(jié)果，實(shí)現(xiàn)基于響應(yīng)面模型的土木工程結(jié)構(gòu)有限元模型修正，并與傳統(tǒng)的基于靈敏度方法直接對結(jié)構(gòu)有限元模型修正結(jié)果進(jìn)行比較。結(jié)果表明，基于響應(yīng)面方法的有限元模型修正和驗(yàn)證，能顯著提高修正的效率，修正過程計(jì)算簡潔、迭代收斂快，避開每次迭代都需要進(jìn)行有限元計(jì)算，易于工程實(shí)際應(yīng)用。

 2、有限元方法的分析過程

 （1）有限元分析的三個(gè)階段

 前處理階段：將整體結(jié)構(gòu)或其一部分簡化為理想的數(shù)學(xué)力學(xué)模型，用離散化的單元代替連續(xù)實(shí)體結(jié)構(gòu)或求解區(qū)域；主要包括：定義分析的類型、添加材料屬性、添加載荷和約束、網(wǎng)格的劃分等……

 分析求解階段：運(yùn)用有限元法對結(jié)構(gòu)離散模型進(jìn)行分析計(jì)算，這個(gè)過程是由計(jì)算機(jī)來完成的。

 后處理階段：對計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析、整理和歸納。

 （2）有限元分析的七個(gè)步驟

 ①結(jié)構(gòu)力學(xué)模型的簡化

 從實(shí)際的問題中抽象出力學(xué)模型，對實(shí)際問題的邊界條件、約束條件和外載荷條件進(jìn)行簡化。抽象簡化出來的力學(xué)模型應(yīng)該能盡可能的反映真實(shí)的實(shí)際問題，合理的模型既能保證計(jì)算結(jié)構(gòu)的精度，又不會帶來結(jié)構(gòu)上的過分復(fù)雜（模型的建立在有限元分析的過程中是一個(gè)比較重要的階段）。

 ②結(jié)構(gòu)的離散化

 所謂結(jié)構(gòu)的離散化就是將連續(xù)的結(jié)構(gòu)體劃分為有限個(gè)單元體以代替原來的結(jié)構(gòu)。這個(gè)過程也就是網(wǎng)格的劃分，網(wǎng)格劃分是建立有限元模型的中心工作，模型的合理性很大程度上可以通過所劃分的網(wǎng)格形式反映出來。

 ③位移模式的選擇

 為了能用節(jié)點(diǎn)位移表示單元體的位移、應(yīng)變和應(yīng)力，在分析時(shí)就要對單元體位移的分布進(jìn)行一定的假設(shè)，假設(shè)位移是坐標(biāo)的某種簡單函數(shù)，這個(gè)函數(shù)就是位移模式或者位移函數(shù)。

 一般情況下選擇多項(xiàng)式作為位移模式，因?yàn)樗械墓饣瘮?shù)的局部都可以用多項(xiàng)式逼近。

 ④分析單元的力學(xué)特性

 單元特性的分析包括以下三部分的內(nèi)容：

 a、利用幾何方程，用位移模式導(dǎo)出用節(jié)點(diǎn)位移表示單元應(yīng)變的關(guān)系式。

 b、利用物理方程，由應(yīng)變表達(dá)式導(dǎo)出用節(jié)點(diǎn)位移表示單元應(yīng)力的關(guān)系式。

 c、利用虛功原理建立作用于單元上的節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系式，也就是單元的剛度方程。

 ⑤計(jì)算等效節(jié)點(diǎn)力

 彈性體經(jīng)過離散后，假定力是通過節(jié)點(diǎn)在單元體之間進(jìn)行傳遞的。但是，實(shí)際的連續(xù)體，力是通過單元的公共邊界進(jìn)行傳遞的。因此，作用在單元上的各種力就需要等效移植到節(jié)點(diǎn)上去，也就是用等效的節(jié)點(diǎn)力來代替單元上的力。移植的方法是按照虛功等效原則進(jìn)行的。

 ⑥集合所有單元的剛度方程，建立這個(gè)結(jié)構(gòu)的平衡方程

 這個(gè)過程包括兩個(gè)方面的內(nèi)容：一是由各個(gè)單元的剛度矩陣集合成整個(gè)物體的整體剛度矩陣；二是將作用于各單元的等效節(jié)點(diǎn)力列陣合成總的載荷列陣。集合所依據(jù)的原則是要求相鄰的單元在公共節(jié)點(diǎn)處的位移相等。

 ⑦求解未知節(jié)點(diǎn)的位移和計(jì)算單元應(yīng)力

 由集合起來的平衡方程組，解出未知位移。在線彈性平衡問題中，可以根據(jù)方程組的具體特點(diǎn)選擇合適的計(jì)算方法。對于非線性問題，則通過一系列的步驟，并逐步修正剛度矩陣或載荷矩陣，才能獲得解答。最后，利用物理方程和求出的節(jié)點(diǎn)位移，計(jì)算各單元的應(yīng)力，并加以整理得出所要的結(jié)果。

 （3）有限元軟件的分析過程

 用Solidworks軟件中的simulation插件可以解決一些簡單的有限元問題。

 ①數(shù)學(xué)模型的建立

 從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，是一個(gè)長、寬、高分別為1000mm、100mm、50mm的一個(gè)長方體。利用Solidworks軟件進(jìn)行實(shí)體建模，選擇材料為合金鋼，如下圖所示：

 接下來，我們添加靜態(tài)算例，因?yàn)樗惺艿妮d荷是靜態(tài)的。

 ②添加約束和載荷

 將實(shí)體的左端面固定，并且在最右端添加一個(gè)豎直向下的5000N的力。如下圖所示：

 ③將實(shí)體進(jìn)行網(wǎng)格劃分

 網(wǎng)格劃分后的結(jié)果如下：

 ④運(yùn)行求解

應(yīng)力截圖

位移截圖

應(yīng)變截圖

 ⑤結(jié)果分析

 對結(jié)果進(jìn)行分析可知，與實(shí)際的工程應(yīng)用實(shí)例結(jié)果一致。

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